Lösungshinweise Aufgabe 32 e
Die Neigung der Ebene EILE kann mit Hilfe des Normalenvektors
bestimmt werden.
Aus Aufgabenteil d) ist bekannt, dass
\(
\vec n =
\small
\left( \begin{array}{c} 111,6 \\ 111,6 \\ 9,61 \end{array} \right)
\)
Wenn die betrachtete Ebene genau senkrecht stehen würde,
betrüge der Winkel zwischen dem Normalenvektor und der
x3‑Achse
genau 90°.
Wenn eine senkrecht stehende Ebene nun etwas geneigt wird,
wird der Winkel zwischen der
x3‑Achse
und dem Normalenvektor etwas kleiner oder etwas größer
als 90°, das hängt von der Richtung des Normalenvektors ab und von
der Richtung, in die die Ebene geneigt wird.
Uns interessiert also eigentlich die beim Neigen entstehende Abweichung
vom 90°-Winkel.
Die
x3‑Achse
wird am einfachsten durch den Einheitsvektor in Richtung dieser Achse
repräsentiert:
\(
\vec e_z = \small\pmatrix{0\\0\\1}
\)
Der gesuchte Winkel wird wieder mit der schon in Aufgabenteil b)
verwendeten Methode berechnet.
Das Skalarprodukt ist \(\vec n \cdot \vec e_z = 9,61\).
Die Beträge sind
\(
\left|\vec n \right| = \sqrt{111,6^2+111,6^2+9,61^2}
\)
und
\(
\left|\vec e_z \right| = \sqrt{0^2+0^2+0^2}
\)
Mit
\[
\gamma = \cos^{-1}\left( \frac{\vec n \cdot \vec e_z}{\vert \vec n\vert \cdot \vert\vec e_z\vert}\right)
\]
erhält man für den Winkel
\(\gamma \approx 86,5°\)
Da dieser Winkel vom 90°-Winkel um ca. 3,5° abweicht, ist die Ebene EILE um 3,5° gegenüber der Senkrechten geneigt.