Lösungshinweise Aufgabe 32 b
Der spitze Winkel bei I kann mit Hilfe des Skalarprodukt berechnet werden.
Aus den Koordinaten von
I = ( 0 | 3,1| 42) und
E=( 3,1| 3,1| 6 ) folgt
\(
\vec a = \overrightarrow{IE}=\small{\pmatrix{3,1\\0\\-36}}
\)
Aus den Koordinaten von
I = ( 0 | 3,1| 42) und
F=(‑3,1| 3,1| 6 )
folgt
\(
\vec b = \overrightarrow{IE}=\small{\pmatrix{-3,1\\0\\-36}}
\)
Für den Winkel zwischen den beiden Vektoren
a→
und
b→
gilt
\(
\vec a \cdot \vec b = \left|\vec a\right|\cdot \left|\vec b\right|\cdot \cos(\alpha)
\).
Dabei ist
\(
\small{\pmatrix{3,1\\0\\-36} \cdot \pmatrix{-3,1\\0\\-36}}\normalsize{= -9,61 + 0 + 1296 = 1286,39}
\)
und
\(
|\,\vec a \,| = \sqrt{3,1^2+0^2+36^2} = \sqrt{1305,61}
\)
Ebenso gilt
\(
|\, \vec {b} \,| = \sqrt{1305,61}
\)
Damit wird
\(\begin{align}
\cos(\alpha)&=\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
&=\frac{1286,39}{\sqrt{1305,61}\cdot \sqrt{1305,61}}\\
&=\frac{1286,39}{1305,61}\\
\alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{1286,36}{1305,61} \right)\\
\alpha &\approx 9,84°
\end{align}\)
Der spitze Winkel bei Punkt E wird nach dem gleichen Prinzip berechnet.
Die beiden Vektoren, die von E zu I bzw. L führen, seien mit
c→
und
d→
bezeichnet. Dann ist
\(\vec c = \small\pmatrix{-3,1\\0\\36}\) und \(\;\vec d = \small\pmatrix{0\\-3,1\\36}\)
Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren wird berechnet zu \(\beta\approx 6,96°\).