Einen Normalenvektor können Sie am einfachsten durch das
Vektorprodukt von zwei Spannvektoren berechnen.
Mit \(\vec{u}=\overrightarrow{DA}=\small{\begin{pmatrix}0\\-20\\-6\end{pmatrix}}\)
und \(\vec{v}=\overrightarrow{DC}=\small{\begin{pmatrix}22\\0\\-6\end{pmatrix}}\)
berechnen Sie
\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)
mit dem Schema
(vgl. Hilfe zu Aufgabe 19):
| 0 | 22 | |||||||
| −20 | 0 | |||||||
| \(\color{red}\nearrow\hspace{-16px}\color{blue}\searrow\) | (−20) ·(−6) | − | (−6)· 0 | 120 | ||||
| −6 | −6 | |||||||
| \(\color{red}\nearrow\hspace{-16px}\color{blue}\searrow\) | = | (−6) · 22 | − | 0· (−6) | = | −132 | ||
| 0 | 22 | |||||||
| \(\color{red}\nearrow\hspace{-16px}\color{blue}\searrow\) | 0 · 0 | − | (−20)· 22 | 440 | ||||
| −20 | 0 | |||||||
| −6 | −6 |
Damit ist
\(\;\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\)
\(\small{
\begin{pmatrix}0\\-20\\-6\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}22\\0\\-6\end{pmatrix}=
}\)
\(\small{
\begin{pmatrix}120\\-132\\440\end{pmatrix}
}\)
Um nun den Winkel zu berechnen, um den dieser Normalenvektor
gegenüber der z‑Achse geneigt ist, benötigen Sie einen Vektor
in Richtung der z‑Achse.
Der einfachste Vektor dafür ist der Einheitsvektor (mit der Länge 1)
in Richtung der z‑Achse:
\(\vec{e}_z = \small{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\)
Den Winkel zwischen \(\vec{n}\) und \(\vec{e}_z\) können Sie
nun über das Skalarprodukt mit der Formel
\[
\cos(\alpha) =
\frac{\vec{n}\cdot\vec{e}_z}{|\vec{n}|\cdot|\vec{e}_z|}
\]
berechnen.
Wenn Ihnen dabei der Vektor \(\vec{n}\) zu lang ist,
können Sie ihn vor dieser Berechnung gern auf ¼
oder 1⁄10 oder 1⁄40 seiner Länge kürzen,
indem Sie alle drei Komponenten z.B. durch 40 teilen.
Am Winkel ändert sich dabei ja nichts.