Lösungshinweise Aufgabe 67
Mit den gegebenen Stützpunkten A bzw. B und Richtungsvekoren \(\vec{u}\) bzw. \(\vec{v}\) haben die Geraden die Gleichungen \[ \begin{align} g: \vec{x} &= \small \left(\begin{matrix}5\\-2\\1\end{matrix} \right) \normalsize + s \cdot \small \left(\begin{matrix}1,2\\1,8\\-0,6\end{matrix} \right) \normalsize,\; s \in \mathbb{R} \\ h: \vec{x} &= \small \left(\begin{matrix}-1\\-11\\4\end{matrix} \right) \normalsize + t \cdot \small \left(\begin{matrix}-0,8\\-1,2\\0,4\end{matrix} \right) \normalsize,\; t \in \mathbb{R} \end{align}\]
Untersuchen Sie, ob der Richtungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches
vom Richtungsvektor der anderen Geraden ist.
Setzen Sie dazu z.B.
\[\small
\left(\begin{matrix}1,2\\1,8\\-0,6\end{matrix} \right)
=
k \cdot \left(\begin{matrix}-0,8\\-1,2\\0,4\end{matrix} \right)
\]
Diese Vektorgleichung enthält die drei linearen Gleichungen
| 1,2 | = | −0,8 k | I |
| 1,8 | = | −1,2 k | II |
| −0,6 | = | 0,4 k | III |
Wenn alle drei Gleichungen denselben Wert für k liefern, ist ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen und die Geraden sind somit parallel.
Die beiden Geraden sind darüber hinaus identisch,
wenn auch noch ein Stützpunkt in der anderen Geraden enthalten ist.
Um das zu prüfen, setzen Sie einen Stützvektor in die andere Geradengleichung ein, z.B.
\[
\small \left(\begin{matrix}-1\\-11\\4\end{matrix} \right)
\normalsize =
\small \left(\begin{matrix}5\\-2\\1\end{matrix} \right)
\normalsize + s \cdot
\small \left(\begin{matrix}1,2\\1,8\\-0,6\end{matrix} \right)
\]
Wenn die hier enthaltenen drei Gleichungen mit demselben Wert
für s erfüllt werden,
sind die Geraden parallel und identisch,
andernfalls parallel und verschieden.
Denken Sie zum Schluss noch daran, einen kleinen Antwortsatz zur Lagebeziehung von g und h zu formulieren.